鷲獅子の塔のシーズンは月曜日の6:00~日曜日の23:59までなので、0時すぎて月曜になってから朝まではスタートボタン自体押せないようになっていますね
これの事ではないならちょっとわからないですけど

問題はポルカが塔に誘導するメッセージと、塔でスタートボタンが押せないと言う事の矛盾と塔の画面でもボタンが押せない理由が書かれていない事ですね。ご指摘の通り、日曜日の深夜に集計の為にスタートボタンが押せない仕様になっているのでしょう。と、後で気が付きましたが、矛盾を無くす事と、塔の方のスタートボタンが押せない理由とかいつ機能するとか、書いておいて欲しいものです。